毛細(xì)現(xiàn)象泛指與液體表面張力和浸潤性相關(guān)的一系列現(xiàn)象. 最典型的例子就是毛細(xì)升現(xiàn)象(capillary rising):?將細(xì)小的玻璃管插入水中，水會在管中上升到一定高度才停止.?毛細(xì)升現(xiàn)象的驅(qū)動力,?是玻璃和水之間相互吸引的相互作用, 也就是我們常說的毛細(xì)力. 而阻礙水上升的因素有兩個(gè):?一個(gè)是水在管中流動受到的黏滯阻力, 另一個(gè)就是水的重力. 在毛細(xì)升的初始階段, 當(dāng)水的高度比較小,?重力作用可以忽略時(shí),?只剩下毛細(xì)力和黏滯阻力之間的競爭, 水的高度和時(shí)間之間滿足1/2的標(biāo)度關(guān)系,?ht1/2.?這個(gè)就是著名的Lucas-Washburn定律.
還有一類毛細(xì)現(xiàn)象同樣有趣, 但可能大家不太熟悉. 將兩塊親水的平板相交成銳角, 然后垂直的插入水中. 同樣在毛細(xì)力的作用下,?水會在兩塊平板的夾角間迅速上升.?達(dá)到平衡后,?從側(cè)面看觀察會發(fā)現(xiàn)水的液面為雙曲線形.?這個(gè)現(xiàn)象叫作泰勒升(Taylor rising).?第一個(gè)發(fā)現(xiàn)這個(gè)現(xiàn)象的泰勒,?正是大學(xué)數(shù)學(xué)中學(xué)到的泰勒展開的那位泰勒.?在幾何構(gòu)型成夾角中的毛細(xì)現(xiàn)象在大自然中同樣是普遍存在的,?而且大自然運(yùn)用毛細(xì)作用的精巧程度往往讓人嘆為觀止. 比如在豬籠草表面液體的單向輸運(yùn), 和瓶子草鞭毛鞭毛表面液體的快速鋪展, 都借助了有夾角情況下的毛細(xì)力.
那么泰勒升的動力學(xué)演化過程, 是否也存在和Lucas-Washburn定律類似的標(biāo)度關(guān)系呢? 這個(gè)問題的答案, 在1994年的時(shí)候湯雷翰老師(香港浸會大學(xué))就已經(jīng)給出. 的確,?泰勒升中水的前端隨時(shí)間滿足t1/3的標(biāo)度關(guān)系.?這個(gè)標(biāo)度關(guān)系表明泰勒升比毛細(xì)升一開始的t1/2要慢,?但比毛細(xì)升后期要快, 因?yàn)槊?xì)升最終會達(dá)到一個(gè)平衡高度, 而泰勒升則會一直進(jìn)行下去.
2011年, 法國巴黎高等物理化工學(xué)院的研究者更進(jìn)一步.?他們把形成夾角的平面推廣到了更加一般的冪率彎曲表面(y=xn,?n=1對應(yīng)的是平面). 實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn), 對于不同的冪率表面,?只要夾角比較小, 泰勒升的動力學(xué)都是滿足1/3次方的標(biāo)度關(guān)系. 這個(gè)時(shí)候,?做物理的人對這個(gè)體系開始感興趣了, 因?yàn)槲锢韺W(xué)關(guān)注的正是這種在不同體系中出現(xiàn)的普適性規(guī)律.
在最新的一期Journal of Fluid Mechanics?中,?北京航空航天大學(xué)的周嘉嘉副教授和土井正男教授合作, 系統(tǒng)的研究了不同冪率條件下泰勒升的動力學(xué)問題.?他們采用的方法是昂薩格變分原理(Onsager variational principle),?這種方法是推導(dǎo)非平衡態(tài)動力學(xué)演化方程的系統(tǒng)性方法, 感興趣的同學(xué)可以參考土井老師的Soft Matter Physics一書. 運(yùn)用潤滑近似, 他們推導(dǎo)出了泰勒升中液面隨時(shí)間變化應(yīng)該滿足的一個(gè)偏微分方程.?通過數(shù)值求解發(fā)現(xiàn),?液體前端和時(shí)間之間的確存在1/3的標(biāo)度關(guān)系.
數(shù)值計(jì)算的結(jié)果的確證實(shí)了1/3的標(biāo)度關(guān)系, 但是否能更進(jìn)一步證明這個(gè)標(biāo)度關(guān)系呢? 泰勒升現(xiàn)象中還有一個(gè)特點(diǎn), 就是在這個(gè)體系中沒有一個(gè)特征長度.?對比毛細(xì)升現(xiàn)象, 毛細(xì)管的內(nèi)徑則是毛細(xì)升現(xiàn)象中的一個(gè)確定的特征長度.?在數(shù)學(xué)的角度看,?缺乏特征長度的動力學(xué)體系有可能存在自相似(self-similar)的特性. 自相似是指幾何物體之間雖然大小不一, 但都具有相同的形狀, 一個(gè)典型的例子就是俄羅斯套娃: 每個(gè)娃娃形狀是一樣的, 只是大小不同.
回到泰勒升的問題,?由于體系存在的自相似性,?通過選取一個(gè)隨時(shí)間變化的長度來約化液面演化的偏微分方程,?可以得到一個(gè)與時(shí)間無關(guān)的常微分方程, 而這個(gè)常微分方程的解則決定了液面的形狀.?泰勒升中不同時(shí)刻的液面, 通過這個(gè)變化, 可以完全重合到一條曲線上去.?而能夠?qū)崿F(xiàn)這個(gè)變換的約化長度, 正好是和時(shí)間成1/3次方的關(guān)系.
文章最后還存在一個(gè)小小的疑惑.?在法國研究者的實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn), 如果選用毛細(xì)長度(capillary length)對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)做無量綱化,?液體前端隨時(shí)間的變化滿足h=C*t1/3關(guān)系. 對于不同冪率的泰勒升, 不但標(biāo)度指數(shù)1/3是普適的,?關(guān)系中的系數(shù)C同樣也是普適的, 其數(shù)值大小對不同冪率基本上一樣.?自相似計(jì)算的結(jié)果也確認(rèn)了這個(gè)結(jié)論, 但是否能夠嚴(yán)格證明, 還有待進(jìn)一步的探索.?該研究工作受到國家自然基金的支持.
論文鏈接：
https://doi.org/10.1017/jfm.2020.531
相關(guān)研究:
Tang and Tang, J. Phys.?II?1994,?4, 881. DOI: 10.1051/jp2:1994172?Ponomarenko, Quere, and Clanet, J. Fluid Mech. 2010,?666, 146. DOI: 10.1017/s0022112010005276
